Методы анализа больших систем, факторный анализСтраница 2
Сразу же сообразим, что чем больше n
и чем меньше таких число факторов m
(а может их и нет вообще!),
тем больше надежда оценить их влияние на интересующий нас показатель
E
.
Столь же легко понять необходимость условия
m < k
,
объяснимого
на простом примере аналогии — если мы исследуем некоторые предметы с использованием всех 5 человеческих чувств, то наивно надеяться на обнаружение более пяти “новых”, легко объяснимых, но неизмеряемых признаков у таких предметов, даже если мы “испытаем” очень большое их количество.
Вернемся к исходной матрице наблюдений E[n
·k]
и отметим, что перед нами, по сути дела, совокупности по n
наблюдений над каждой из k
случайными величинами E1, E2, … E k
.
Именно эти величины “подозреваются” в связях друг с другом — или во взаимной коррелированности.
Из рассмотренного ранее метода оценок таких связей следует, что мерой разброса случайной величины E
i
служит ее дисперсия, определяемая суммой квадратов всех зарегистрированных значений этой величины S
(
Eij)2
и ее средним значением (суммирование ведется по столбцу).
Если мы применим замену переменных в исходной матрице наблюдений, т.е. вместо Ei j
будем использовать случайные величины
Xij = ,
{3-27}
то мы преобразуем исходную матрицу в новую
X[n
·
k]
{3-28}
X 11 |
X12 |
… |
X1i |
… |
X1k |
X 21 |
X22 |
… |
X2i |
… |
X2k |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
X j1 |
Xj2 |
… |
Xji |
… |
Xjk |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
X n1 |
Xn2 |
… |
Xni |
… |
Xnk |
Отметим, что все элементы новой матрицы X[n
·
k]
окажутся безразмерными, нормированными величинами и, если некоторое значение Xij
составит, к примеру,
+2, то это будет означать только одно - в строке j
наблюдается отклонение от среднего по столбцу i
на два среднеквадратичных отклонения (в большую сторону).
Выполним
теперь следующие операции.
· Просуммируем квадраты всех значений столбца 1 и разделим результат на (n - 1)
— мы получим дисперсию (меру разброса) случайной величины X1
,
т.е. D
1
.
Повторяя эту операцию, мы найдем таким же образом дисперсии всех наблюдаемых (но уже нормированных) величин.
· Просуммируем произведения соответствующих строк (от j =1 до j = n) для столбцов 1,2 и также разделим на (n -1)
. То, что мы теперь получим, называется ковариациейC12
случайных величин X1 , X2
и служит мерой их статистической связи.
· Если мы повторим предыдущую процедуру для всех пар столбцов, то в результате получим еще одну, квадратную матрицу C[k
Другое по теме
Чрезвычайные ситуации
Человек и среда его обитания образуют систему, состоящую из множества взаимодействующих элементов, имеющую упорядоченность в определенных границах и обладающую специфическими свойствами. Такое взаимодействие определяется множес ...