Величественное здание арифметики опирается на следующие аксиомы.

1. Для любых чисел m и n

m + n = n + m и mn = nm .

2. Для любых чисел m, n и k

(m + n ) + k = m + (n + k ) и (mn )k = m (nk ).

3. Для любых чисел m, n и k

m (n + k ) = mn + mk .

4. Существует число 0, такое, что для любого числа n

n + 0 = n .

5. Существует число 1, такое, что для любого числа n

n ·1 = n .

6. Для любого числа n существует другое число k , такое, что

n + k = 0.

7. Для любых чисел m, n и k

если k ≠ 0 и kn = km , то m = n .

Исходя из этих аксиом, можно доказать другие правила арифметики. Например, используя только приведенные выше аксиомы и не прибегая ни к каким другим допущениям, мы можем строго доказать правило, которое кажется очевидным и заключается в следующем:

если m + k = n + k , то m = n .

Прежде всего, пусть

m + k = n + k .

Аксиома 6 гарантирует, что существует число l , такое, что k +l =0, поэтому

(m + k ) + l = (n + k ) + l .

Но по аксиоме 2

m + (k + l ) = n + (k + l ).

Принимая во внимание, что k +l =0, получаем:

m + 0 = n + 0.

Аксиома 4 позволяет нам утверждать то, что требовалось доказать, а именно:

m = n .